11. La transformación de Lorentz
Las consideraciones
hechas en los tres últimos epígrafes nos
muestran que la aparente incompatibilidad de la ley de propagación de la luz con el principio de relatividad en §7 está deducida a través de un
razonamiento que tomaba a préstamo de la Mecánica clásica dos hipótesis
injustificadas; estas hipótesis son:
1.
El intervalo temporal entre dos
sucesos es independiente del estado de movimiento del cuerpo de
referencia.
2.
El intervalo
espacial entre dos
puntos de un cuerpo
rígido es independiente del estado de movimiento
del cuerpo de referencia.
Si eliminamos
estas dos hipótesis, desaparece el dilema de §7,
porque el teorema de adición de velocidades deducido
en §6 pierde su validez. Ante nosotros surge la
posibilidad de que la ley de la propagación de la luz en el vacío sea
compatible con el principio de relatividad. Llegamos así a la pregunta: ¿cómo hay
que modificar el razonamiento de §6 para
eliminar la aparente contradicción
entre estos dos resultados fundamentales
de la experiencia? Esta cuestión conduce a otra de índole general. En el razonamiento de §6 aparecen
lugares y tiempos con relación al tren y con relación a las vías. ¿Cómo se
hallan el lugar y el tiempo de un suceso con
relación al tren cuando se conocen el lugar
y el tiempo del suceso con respecto a las vías? ¿Esta pregunta tiene alguna respuesta de acuerdo con la cual la ley de la propagación en el vacío no
contradiga al principio de
relatividad? O expresado de otro modo:
¿cabe hallar alguna relación entre las posiciones y tiempos de los
distintos sucesos con relación a ambos cuerpos
de referencia, de manera que todo rayo de luz tenga la velocidad de propagación c respecto a las vías y respecto al tren? Esta pregunta conduce a una respuesta muy determinada y afirmativa, a una ley de transformación
muy precisa para las magnitudes espacio-temporales
de un suceso al pasar de un cuerpo de referencia a otro.
Antes de
entrar en ello, intercalemos la siguiente consideración. Hasta ahora solamente
hemos hablado de sucesos que se producían a lo largo de la vía, la
cual desempeñaba
la función matemática de una recta. Pero, siguiendo
lo indicado en el epígrafe 2, cabe imaginar que este cuerpo de referencia se prolonga hacia los lados y hacia arriba por medio de un andamiaje de varillas, de manera que cualquier suceso, ocurra
donde ocurra, puede localizarse
respecto a ese andamiaje. Análogamente,
es posible imaginar que el tren que viaja
con velocidad v se prolonga por todo el espacio, de manera que cualquier suceso, por lejano que
esté, también pueda localizarse
respecto al segundo andamio. Sin
incurrir en defecto teórico, podemos prescindir del hecho de que en realidad esos andamios se destrozarían uno
contra el otro debido a la impenetrabilidad de los cuerpos sólidos. En cada
uno de estos andamios imaginamos que se erigen tres paredes mutuamente
perpendiculares que denominamos «planos coordenados» («sistema de coordenadas»). Al terraplén le corresponde entonces un sistema de
coordenadas K, y al tren otro K'.
Cualquier suceso, dondequiera
que ocurra, viene fijado espacialmente respecto a K por las tres perpendiculares x, y, z a los planos coordenados, y temporalmente por un valor t.
Ese mismo suceso viene fijado espacio-temporalmente respecto a K' por valores correspondientes x',
y', z', t', que, como es
natural, no coinciden con x, y, z, t. Ya explicamos antes con detalle cómo interpretar estas magnitudes como
resultados de mediciones físicas.
Es evidente
que el problema que tenemos planteado se puede formular exactamente de
la manera siguiente: Dadas las cantidades x,
y, z, t de un suceso respecto a K,
¿cuáles son los valores x',y',z',t'
del mismo suceso respecto a K' ?
Las relaciones hay que elegirlas de tal modo
que satisfagan la ley de propagación de la luz en el vacío
para uno y el mismo rayo de luz (y además para
cualquier rayo de luz) respecto a K y K'. Para la orientación
espacial relativa indicada en el dibujo de la figura 2, el
problema queda resuelto por las ecuaciones:
Este sistema de ecuaciones se
designa con el nombre de «transformación de
Lorentz[1]».
Ahora bien, si en
lugar de la ley de propagación de la luz
hubiésemos tomado como base los supuestos implícitos en la vieja mecánica,
relativos al carácter absoluto de los tiempos y las longitudes, en vez
de las anteriores ecuaciones de transformación habríamos obtenido estas otras:
x' = x — vt
y' = y
z' = z
t' = t,
sistema que a menudo se denomina
«transformación de Galileo». La
transformación de Galileo se obtiene de la de Lorentz igualando en ésta la
velocidad de la luz c a un
valor infinitamente grande.
El
siguiente ejemplo muestra claramente que, según la
transformación de Lorentz, la ley de propagación de la luz en el vacío se
cumple tanto respecto al cuerpo de referencia K como
respecto al cuerpo de referencia K'. Supongamos
que se envía una señal luminosa a lo largo del eje x positivo, propagándose la excitación luminosa según la ecuación
x
= ct,
es decir,
con velocidad c. De acuerdo con las ecuaciones de la transformación de
Lorentz, esta sencilla relación entre x y
t determina una relación entre x' y t'. En efecto, sustituyendo x por el valor ct en
las ecuaciones primera y cuarta de la transformación de Lorentz obtenemos:
de donde,
por división, resulta inmediatamente
x' = ct'.
La
propagación de la luz, referida al sistema K', se produce
según esta ecuación. Se comprueba, por tanto, que la velocidad de propagación es
también igual a c respecto al
cuerpo de referencia K'; y análogamente para rayos de luz que se propaguen en cualquier otra dirección. Lo cual, naturalmente, no es de
extrañar, porque las ecuaciones de la
transformación de Lorentz están
derivadas con este criterio.
[1] En el Apéndice se da una
derivación sencilla de la transformación de Lorentz
No hay comentarios:
Publicar un comentario