1. El contenido físico de los teoremas geométricos
Seguro
que también tú, querido lector, entablaste de niño
conocimiento con el soberbio edificio de la Geometría de Euclides y recuerdas,
quizá con más respeto que amor, la imponente construcción por cuyas altas
escalinatas te pasearon durante horas sin cuento los meticulosos profesores de
la asignatura. Y seguro que, en virtud de ese tu pasado,
castigarías con el desprecio a cualquiera que declarase
falso incluso el más recóndito teoremita de esta ciencia. Pero es muy posible
que este sentimiento de orgullosa seguridad te
abandonara de inmediato si alguien te preguntara: «¿Qué
entiendes tú al afirmar que estos teoremas son verdaderos?». Detengámonos
un rato en esta cuestión.
La Geometría
parte de ciertos conceptos básicos, como el de plano, punto,
recta, a los que estamos en condiciones de asociar representaciones más o menos
claras, así como de ciertas proposiciones simples (axiomas) que, sobre la base de
aquellas representaciones, nos inclinamos a
dar por «verdaderas». Todos los demás
teoremas son entonces referidos a aquellos axiomas (es decir, son
demostrados) sobre la base de un método
lógico cuya justificación nos sentimos obligados a reconocer. Un teorema es correcto, o «verdadero», cuando se deriva de los axiomas a través de
ese método reconocido. La cuestión de la «verdad» de los distintos teoremas
geométricos remite, pues, a la de la «verdad»
de los axiomas. Sin embargo, se sabe desde hace mucho que esta última cuestión no sólo no es resoluble con los métodos de la Geometría, sino
que ni siquiera tiene sentido en sí.
No se puede preguntar si es verdad o
no que por dos puntos sólo pasa una recta. Únicamente cabe decir que la Geometría euclídea
trata de figuras a las que llama «rectas» y a las cuales asigna la propiedad de quedar unívocamente determinadas por dos de sus puntos. El concepto de «verdadero»
no se aplica a las proposiciones de la
Geometría pura, porque con la palabra
«verdadero» solemos designar siempre,
en última instancia, la coincidencia con un objeto «real»; la Geometría, sin
embargo, no se ocupa de la relación de sus conceptos con los objetos de la experiencia,
sino sólo de la relación lógica que guardan estos
conceptos entre sí.
El que, a
pesar de todo, nos sintamos inclinados a calificar de «verdaderos» los
teoremas de la Geometría tiene fácil explicación. Los conceptos geométricos se corresponden más o menos exactamente con objetos en la naturaleza, que son, sin ningún género de
dudas, la única causa de su formación.
Aunque la Geometría se distancie de
esto para dar a su edificio el máximo rigor
lógico, lo cierto es que la costumbre, por ejemplo, de ver un segmento
como dos lugares marcados en un cuerpo
prácticamente rígido está muy afincada en nuestros hábitos de pensamiento. Y también estamos acostumbrados a
percibir tres lugares como situados sobre
una recta cuando, mediante adecuada elección del punto de observación,
podemos hacer coincidir sus imágenes al
mirar con un solo ojo.
Si,
dejándonos llevar por los hábitos de pensamiento,
añadimos ahora a los teoremas de la Geometría euclídea un único teorema más,
el de que a dos puntos de un cuerpo prácticamente rígido les corresponde
siempre la misma distancia (segmento), independientemente de las variaciones
de posición a que sometamos el cuerpo,
entonces los teoremas de la Geometría euclídea se convierten en
teoremas referentes a las posibles posiciones relativas de cuerpos
prácticamente rígidos[1]. La
Geometría así ampliada hay que contemplarla
como una rama de la física. Ahora sí cabe preguntarse por la «verdad» de los
teoremas geométricos así
interpretados, porque es posible preguntar si son válidos o no para aquellos
objetos reales que hemos asignado a
los conceptos geométricos. Aunque con cierta
imprecisión, podemos decir, pues, que por «verdad» de un teorema geométrico entendemos en este sentido su validez en
una construcción con regla y compás.
Naturalmente,
la convicción de que los teoremas geométricos son «verdaderos» en este sentido
descansa exclusivamente en experiencias harto incompletas. De entrada daremos por supuesta esa verdad de los
teoremas geométricos, para luego, en la última parte de la exposición (la
teoría de la relatividad general), ver que esa verdad tiene sus límites
y precisar cuáles son éstos.
[1] De esta
manera se le asigna también a la línea recta un objeto de la naturaleza. Tres
puntos de un cuerpo rígido A, B, C se hallan situados
sobre una línea recta cuando, dados los puntos A y C, el punto B está elegido de tal manera que la suma
de las distancia AB y BC es
lo más pequeña posible. Esta definición, defectuosa desde luego, puede bastar
en este contexto.
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