Sobre la teoría de la relatividad - Einstein - 25. Coordenadas gaussianas

25.    Coordenadas gaussianas

Este tratamiento geométrico-analítico se puede con­seguir, según Gauss, de la siguiente manera. Imagine­mos dibujadas sobre el tablero de la mesa un sistema de curvas arbitrarias (véase Fig. 3), que llamamos cur­vas u y a cada una de las cuales caracterizamos con un número.

En la figura están dibujadas las curvas u = 1, u = 2 y u = 3. Pero entre las curvas u = I y u = 2 hay que imaginarse dibujadas infinitas más, correspondien­tes a todos los números reales que están comprendidos entre 1 y 2. Tenemos entonces un sistema de curvas u que recubren la mesa de manera infinitamente densa. Ninguna curva u corta a ninguna otra, sino que por cada punto de la mesa pasa una curva y sólo una. A cada punto de la superficie de la mesa le corresponde entonces un valor u perfectamente determinado. Su­pongamos también que sobre la superficie se ha dibujado un sistema de curvas v que satisfacen las mismas condiciones, que están caracterizadas de manera aná­loga por números y que pueden tener también una forma arbitraria.

A cada punto de la mesa le corres­ponde así un valor a y un valor v, y a estos dos núme­ros los llamamos las coordenadas de la mesa (coorde­nadas gaussianas). El punto P de la figura, por ejemplo, tiene como coordenadas gaussianas u = 3; v = 1. A dos puntos vecinos P y P' de la superficie les corresponden entonces las coordenadas

donde du y dv representan números muy pequeños. Sea ds un número también muy pequeño que repre­senta la distancia entre P y P' medida con una reglilla. Según Gauss se cumple entonces:

ds² = g₁₁du² + 2g₁₂dudv + g₂₂dv²,

donde g_ll, g_l2, g₂₂ son cantidades que dependen de manera muy determinada de u y de v. Las cantidades g_ll, g_l2 y g₂₂ determinan el comportamiento de las varillas respecto a las curvas u y v, y por tanto también respecto a la superficie de la mesa. En el caso de que los puntos de la superficie considerada constituyan res­pecto a las reglillas de medida un continuo euclidiano — y sólo en ese caso — será posible dibujar las curvas u y v y asignarles números de tal manera que se cumpla sencillamente

ds² = du²+dv².

Las curvas a y v son entonces líneas rectas en el sentido de la geometría euclidiana, y perpendiculares entre sí. y las coordenadas gaussianas serán sencillamente coor­denadas cartesianas. Como se ve, las coordenadas gaus­sianas no son más que una asignación de dos números a cada punto de la superficie considerada, de tal manera que a puntos espacialmente vecinos se les asigna valo­res numéricos que difieren muy poco entre sí.

Estas consideraciones valen en primera instancia para un continuo de dos dimensiones. Pero el método gaussiano se puede aplicar también a un continuo de tres, cuatro o más. Con un continuo de cuatro dimensiones, por ejemplo, resulta la siguiente representación. A cada punto del continuo se le asignan arbitrariamente cuatro números x₁,x₂,x₃,x₄ que se denominan «coor­denadas». Puntos vecinos se corresponden con valores vecinos de las coordenadas. Si a dos puntos vecinos P y P' se les asigna una distancia ds físicamente bien defi­nida, susceptible de ser determinada mediante medi­ciones, entonces se cumple la fórmula:

ds² = g₁₁dx ₁² + 2g₁₂dx₁dx₂ • • • + g₄₄dx₄²

donde las cantidades g₁₁, etc. tienen valores que varían con la posición en el continuo. Solamente en el caso de que el continuo sea euclidiano será posible asignar las coordenadas x₁...x₄ a los puntos del continuo de tal manera que se cumpla simplemente

ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄²

Las relaciones que se cumplen entonces en el continuo cuadridimensional son análogas a las que rigen en nues­tras mediciones tridimensionales.

Señalemos que la representación gaussiana para ds² que acabamos de dar no siempre es posible; sólo lo es cuando existan regiones suficientemente pequeñas del continuo en cuestión que quepa considerar como continuos euclidianos. Lo cual se cumple evidentemente en el caso de la mesa y de la temperatura localmente variable, por ejemplo, porque en una porción pequeña de la mesa es prácticamente constante la temperatura, y el comportamiento geométrico de las varillas es casi el que exigen las reglas de la geometría euclidiana. Así pues, las discordancias en la construcción de cuadrados del epígrafe anterior no se ponen claramente de mani­fiesto mientras la operación no se extienda a una parte importante de la mesa.

En resumen, podemos decir: Gauss inventó un mé­todo para el tratamiento de cualquier continuo en el que estén definidas relaciones de medidas («distancia» entre puntos vecinos). A cada punto del continuo se le asignan tantos números (coordenadas gaussianas) como dimensiones tenga el continuo. La asignación se realiza de tal modo que se conserve la univocidad y de manera que a puntos vecinos les correspondan números (coor­denadas gaussianas) que difieran infinitamente poco entre sí. El sistema de coordenadas gaussianas es una generalización lógica del sistema de coordenadas carte­sianas. También es aplicable a continuos no euclidia­nos, pero solamente cuando pequeñas porciones del continuo considerado se comporten, respecto a la me­dida definida («distancia»), tanto más euclidianamente cuanto menor sea la parte del continuo considerada.

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