24. El continuo euclídeo y el no euclídeo
Delante
de mí tengo la superficie de una mesa de mármol. Desde cualquier punto de ella
puedo llegar hasta cualquier otro a base de pasar un número (grande)
de veces hasta un punto «vecino», o dicho de otro modo,
yendo de un punto a otro sin dar «saltos». El lector (siempre que no sea
demasiado exigente) percibirá sin duda con
suficiente precisión lo que se entiende
aquí por «vecino» y «saltos». Esto lo expresamos diciendo que la superficie es un continuo.
Imaginemos
ahora que fabricamos un gran número de varillas cuyo tamaño
sea pequeño comparado con las medidas de la mesa, y todas
ellas igual de largas. Por esto último se entiende que se
pueden enrasar los extremos de cada dos de ellas. Colocamos ahora
cuatro de estas varillas sobre la superficie de la mesa, de
modo que sus extremos formen un cuadrilátero cuyas diagonales sean iguales
(cuadrado). Para conseguir la igualdad de las diagonales nos servimos de una
varilla de prueba. Pegados a este cuadrado
construimos otros iguales que tengan en común con él una varilla; junto
a estos últimos otros tantos, etc.
Finalmente tenemos todo el tablero cubierto de cuadrados, de tal manera que cada lado interior pertenece a dos cuadrados y
cada vértice interior, a cuatro.
El que se
pueda llevar a cabo esta operación sin tropezar con grandísimas
dificultades es un verdadero milagro. Basta
con pensar en lo siguiente. Cuando en un vértice convergen tres cuadrados, están ya colocados dos lados del cuarto, lo cual determina totalmente
la colocación de los dos lados
restantes de éste. Pero ahora ya no
puedo retocar el cuadrilátero para igualar sus diagonales. Si lo son de
por sí, será en virtud de un favor especial
de la mesa y de las varillas, ante el cual me tendré que mostrar maravillado y agradecido. Y para que la construcción se logre, tenemos que
asistir a muchos milagros parecidos.
Si
todo ha ido realmente sobre ruedas, entonces digo que los
puntos del tablero forman un continuo euclidiano
respecto a la varilla utilizada como segmento. Si destaco uno
de los vértices de la malla en calidad de «punto de origen», cualquier otro
podré caracterizarlo, respecto al punto de origen, mediante dos
números. Me basta con especificar cuántas varillas hacia «la
derecha» y cuántas luego hacia «arriba» tengo que
recorrer a partir del origen para llegar al vértice en
cuestión. Estos
dos números son entonces «las coordenadas cartesianas»
de ese vértice con respecto al «sistema de coordenadas» determinado por las varillas colocadas.
La siguiente
modificación del experimento mental demuestra
que también hay casos en los que fracasa esta tentativa. Supongamos que las varillas «se dilatan» con la temperatura y que se calienta el tablero en
el centro pero no en los bordes.
Sigue siendo posible enrasar dos de
las varillas en cualquier lugar de la mesa, pero nuestra construcción de cuadrados quedará ahora irremisiblemente
desbaratada, porque las varillas de la parte
interior de la masa se dilatan, mientras que las de la parte exterior, no.
Respecto a nuestras varillas
—definidas como segmentos unidad— la mesa ya no es un continuo euclidiano, y tampoco estamos ya en condiciones de
definir directamente con su ayuda
unas coordenadas cartesianas, porque
no podemos realizar la construcción anterior. Sin embargo, como existen otros objetos sobre los cuales la temperatura de la mesa no influye de
la misma manera que sobre las varillas (o sobre los cuales no influye ni
siquiera), es posible, sin forzar las cosas, mantener
aun así la idea de que la mesa es un «continuo euclidiano», y es posible hacerlo de modo satisfactorio mediante una constatación más sutil acerca
de la medición o comparación de
segmentos.
Ahora bien, si todas las
varillas, de cualquier clase o material,
mostraran idéntico comportamiento termosensible sobre la mesa irregularmente temperada, y si no tuviéramos otro
medio de percibir la acción de la temperatura que el comportamiento geométrico
de las varillas en experimentos
análogos al antes descrito, entonces podría ser conveniente adscribir a dos
puntos de la mesa la distancia 1 cuando fuese posible enrasar con ellos los extremos de una de nuestras varillas;
porque ¿cómo definir si no el
segmento, sin caer en la más crasa de las arbitrariedades? En ese caso
hay que abandonar, sin embargo, el método
de las coordenadas cartesianas y
sustituirlo por otro que no presuponga la validez de la geometría
euclidiana[1]. El lector advertirá que la situación aquí descrita se corresponde con
aquella que ha traído consigo el postulado de la relatividad general (§23).
[1] Nuestro problema se les planteó a los matemáticos de la siguiente manera. Dada una superficie —por ejemplo, la de un
elipsoide— en el espacio de medida tridimensional euclidiano, existe sobre ella una geometría bidimensional, exactamente igual que en el plano. Gauss se planteó el problema de tratar teóricamente esta geometría bidimensional sin utilizar el hecho de que la superficie pertenece a un continuo euclidiano de tres
dimensiones. Si imaginamos que en la
superficie (igual que antes sobre la mesa) realizamos construcciones
con varillas rígidas, las leyes que valen para ellas son distintas de las de la geometría euclidiana del
plano. La superficie no es, respecto a
las varillas, un continuo euclidiano, ni tampoco se pueden definir
coordenadas cartesianas en la superficie. Gauss mostró los principios
con arreglo a los cuales se pueden tratar las condiciones geométricas en la
superficie, señalando así el camino hacia el tratamiento
riemanniano de continuos no euclidianos multidimensionales. De ahí que los matemáticos tengan
resueltos desde hace mucho los
problemas formales a que conduce el postulado de la relatividad general.
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