Sobre la teoría de la relatividad - Einstein - 26. El continuo espacio-temporal de la teoría de la relatividad especial como continuo euclidiano

26.    El continuo espacio-temporal de
la teoría de la relatividad especial
como continuo euclidiano                                          

Ahora estamos en condiciones de formular con algo más de precisión las ideas de Minkowski que esboza­mos vagamente en §17. Según la teoría de la relativi­dad especial, en la descripción del continuo espacio temporal cuadridimensional gozan de privilegio ciertos sistemas de coordenadas que hemos llamado «sistemas de coordenadas de Galileo». Para ellos, las cuatro coordenadas x, y, z, t que determinan un suceso —o expresado de otro modo, un punto del continuo cua­dridimensional— vienen definidas físicamente de ma­nera muy simple, como ya se explicó en la primera parte de este librito. Para el paso de un sistema de Galileo a otro que se mueva uniformemente respecto al primero son válidas las ecuaciones de la transforma­ción de Lorentz, que constituyen la base para derivar las consecuencias de la teoría de la relatividad especial y que por su parte no son más que la expresión de la validez universal de la ley de propagación de la luz para todos los sistemas de referencia de Galileo.

Minkowski descubrió que las transformaciones de Lorentz satisfacen las sencillas condiciones siguientes. Consideremos dos sucesos vecinos, cuya posición mu­tua en el continuo cuadridimensional venga dada por las diferencias de coordenadas espaciales dx, dy, dz y la diferencia temporal dt respecto a un cuerpo de refe­rencia de Galileo K. Respecto a un segundo sistema de Galileo, sean dx', dy', dz', dt' las correspondientes di­ferencias para ambos sucesos. Entre ellas se cumple entonces siempre la condición[1]:

dx² + dy² + dz² - c²dt² = dx' ² + dy' ² + dz' ² -c²dt' ².

Esta condición tiene como consecuencia la validez de la transformación de Lorentz. Lo cual podemos expre­sarlo así: la cantidad

ds² = dx² + dy² + dz² - c²dt²

correspondiente a dos puntos vecinos del continuo espacio-temporal cuadridimensional, tiene el mismo valor para todos los cuerpos de referencia privilegiados (de Galileo). Si se sustituye

  por x₁,x₂,x₃ ,x₄, se obtiene el resultado de que

ds² = dx₁²+dx₂²+dx₃² + dx₄²

es independiente de la elección del cuerpo de referen­cia. A la cantidad ds la llamamos «distancia» de los dos sucesos o puntos cuadridimensionales.

Así pues, si se elige la variable imaginaria

   

en lugar de la t real como variable temporal, cabe inter­pretar el continuo espacio-temporal de la teoría de la relatividad especial como un continuo cuadridimensional «euclidiano», como se desprende de las considera­ciones del último epígrafe.

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[1] Cf.  Apéndice. Las relaciones (11a) y (12) deducidas allí para las coordenadas valen también para diferencias de coordenadas, y por tanto para diferenciales de las mismas (diferencias infinitamente pe­queñas).

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