3/6/13

Sobre la teoría de la relatividad - Einstein - 23. El comportamiento de relojes y reglas sobre un cuerpo de referencia en rotación



23.    El comportamiento de relojes y reglas sobre un cuerpo de referencia en rotación


Hasta ahora me he abstenido intencionadamente de hablar de la interpretación física de localizaciones espa­ciales y temporales en el caso de la teoría de la relativi­dad general. Con ello me he hecho culpable de un cierto desaliño que, según sabemos por la teoría de la relatividad especial, no es en modo alguno banal ni perdonable. Hora es ya de llenar esta laguna; pero ad­vierto de antemano que el asunto demanda no poca paciencia y capacidad de abstracción por parte del lec­tor.

Partimos una vez más de casos muy especiales y muy socorridos. Imaginemos una región espacio-temporal en la que, respecto a un cuerpo de referencia K que posea un estado de movimiento convenientemente elegido, no exista ningún campo gravitatorio; en rela­ción a la región considerada, K es entonces un cuerpo de referencia de Galileo, siendo válidos respecto a él los resultados de la teoría de la relatividad especial. Imaginemos la misma región, pero referida a un se­gundo cuerpo de referencia K' que rota uniforme­mente respecto a K. Para fijar las ideas, supongamos que K' es un disco circular que gira uniformemente alrededor de su centro y en su mismo plano. Un ob­servador sentado en posición excéntrica sobre el disco circular K' experimenta una fuerza que actúa en direc­ción radial hacia afuera y que otro observador que se halle en reposo respecto al cuerpo de referencia origi­nal K interpreta como acción inercial (fuerza centrí­fuga). Supongamos, sin embargo, que el observador sentado en el disco considera éste como un cuerpo de referencia «en reposo», para lo cual está autorizado por el principio de relatividad. La fuerza que actúa so­bre él —y en general sobre los cuerpos que se hallan en reposo respecto al disco— la interpreta como la acción de un campo gravitatorio. La distribución espa­cial de este campo no sería posible según la teoría newtoniana de la gravitación[1]. Pero como el observador cree en la teoría de la relatividad general, no le preo­cupa este detalle; espera, con razón, poder establecer una ley general de la gravitación que explique correc­tamente no sólo el movimiento de los astros, sino tam­bién el campo de fuerzas que él percibe.
Este observador, instalado en su disco circular, expe­rimenta con relojes y reglas, con la intención de obte­ner, a partir de lo observado, definiciones exactas para el significado de los datos temporales y espaciales res­pecto al disco circular K'. ¿Qué experiencias tendrá en ese intento?
Imaginemos que el observador coloca primero dos relojes de idéntica constitución, uno en el punto medio del disco circular, el otro en la periferia del mismo, de manera que ambos se hallan en reposo respecto al disco. En primer lugar nos preguntamos si estos dos relojes marchan o no igual de rápido desde el punto de vista del cuerpo de referencia de Galileo K, que no rota. Juzgado desde K, el reloj situado en el centro no tiene ninguna velocidad, mientras que el de la perife­ria, debido a la rotación respecto a K, está en movi­miento. Según un resultado de §12, este segundo reloj marchará constantemente más despacio —respecto a K— que el reloj situado en el centro del disco circular. Lo mismo debería evidentemente constatar el hombre del disco, a quien vamos a imaginar sentado en el cen­tro, junto al reloj que hay allí. Así pues, en nuestro disco circular, y con más generalidad en cualquier campo gravitatorio, los relojes marcharán más deprisa o más despacio según el lugar que ocupe el reloj (en reposo). Por consiguiente, con ayuda de relojes colo­cados en reposo respecto al cuerpo de referencia no es posible dar una definición razonable del tiempo. Aná­loga dificultad se plantea al intentar aplicar aquí nuestra anterior definición de simultaneidad, tema en el que no vamos a profundizar.
También la definición de las coordenadas espaciales plantea aquí problemas que en principio son insupera­bles. Porque si el observador que se mueve junto con el disco coloca su escala unidad (una regla pequeña, comparada con el radio del disco) tangencialmente so­bre la periferia de éste, su longitud, juzgada desde el sistema de Galileo, será más corta que 1, pues según §12 los cuerpos en movimiento experimentan un acor­tamiento en la dirección del movimiento. Si en cambio coloca la regla en la dirección del radio del disco, no habrá acortamiento respecto a K. Por consiguiente, si el observador mide primero el perímetro del disco, luego su diámetro y divide estas dos medidas, obtendrá como cociente, no el conocido número π = 3,14..., sino un número mayor[2], mientras que en un disco inmóvil respecto a K debería resultar exactamente π en esta operación, como es natural. Con ello queda ya probado que los teoremas de la geometría euclídea no pueden cumplirse exactamente sobre el disco rotatorio ni, en general, en un campo gravitacional, al menos si se atribuye a la reglilla la longitud 1 en cualquier posi­ción y orientación. También el concepto de línea recta pierde con ello su significado. No estamos, pues, en condiciones de definir exactamente las coordenadas x, y, z respecto al disco, utilizando el método empleado en la teoría de la relatividad especial. Y mientras las coordenadas y los tiempos de los sucesos no estén de­finidos, tampoco tienen significado exacto las leyes de la naturaleza en las que aparecen esas coordenadas.
Todas las consideraciones que hemos hecho anteriormente sobre la relatividad general parecen quedar así en tela de juicio. En realidad hace falta dar un sutil rodeo para aplicar exactamente el postulado de la rela­tividad general. Las siguientes consideraciones prepara­rán al lector para este cometido.


[1] El campo se anula en el centro del disco y aumenta hacia fuera proporcionalmente a la distancia al punto medio.
[2] En todo este razonamiento hay que utilizar el sistema de Galileo K (que no rota) como cuerpo de coordenadas, porque la validez de los resultados de la teoría de la relatividad especial sólo cabe supo­nerla respecto a K (en relación a K' existe un campo gravitatorio).


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