23. El comportamiento de relojes y reglas sobre un cuerpo de referencia en rotación
Hasta ahora
me he abstenido intencionadamente de hablar de la interpretación
física de localizaciones espaciales y temporales en el caso de la teoría de la
relatividad general. Con ello me he hecho
culpable de un cierto desaliño que,
según sabemos por la teoría de la relatividad
especial, no es en modo alguno banal ni perdonable. Hora es ya de llenar esta laguna; pero advierto de antemano que el asunto demanda no poca paciencia
y capacidad de abstracción por parte del lector.
Partimos
una vez más de casos muy especiales y muy socorridos.
Imaginemos una región espacio-temporal en la que,
respecto a un cuerpo de referencia K que posea un estado de movimiento
convenientemente elegido, no exista ningún campo gravitatorio;
en relación a la región considerada, K es entonces
un cuerpo de referencia de Galileo, siendo válidos respecto a
él los
resultados de la teoría de la relatividad especial. Imaginemos la misma región, pero referida a un segundo cuerpo de referencia K' que rota
uniformemente respecto a K. Para
fijar las ideas, supongamos que K' es
un disco circular que gira uniformemente alrededor de su centro y en su mismo
plano. Un observador sentado en
posición excéntrica sobre el disco circular K' experimenta una fuerza
que actúa en dirección radial hacia
afuera y que otro observador que se halle en reposo respecto al cuerpo de
referencia original K interpreta como acción inercial (fuerza centrífuga). Supongamos, sin embargo, que el observador sentado en el disco considera éste como un cuerpo
de referencia «en reposo», para lo
cual está autorizado por el principio de relatividad. La fuerza que
actúa sobre él —y en general sobre los
cuerpos que se hallan en reposo respecto al disco— la interpreta como la acción
de un campo gravitatorio. La distribución espacial de este campo no sería
posible según la teoría newtoniana de la
gravitación[1].
Pero como el observador cree en la
teoría de la relatividad general, no le preocupa este detalle; espera, con razón, poder establecer una ley general de la gravitación que explique
correctamente no sólo el movimiento de los astros, sino también el campo de fuerzas que él percibe.
Este
observador, instalado en su disco circular, experimenta con
relojes y reglas, con la intención de obtener, a
partir de lo observado, definiciones exactas para el significado de los datos
temporales y espaciales respecto al disco
circular K'. ¿Qué experiencias tendrá en ese intento?
Imaginemos
que el observador coloca primero dos relojes de
idéntica constitución, uno en el punto medio del disco circular, el otro en la
periferia del mismo, de manera que ambos se hallan en
reposo respecto al disco. En primer lugar nos preguntamos si
estos dos relojes marchan o no igual de rápido desde el punto
de vista del cuerpo de referencia de Galileo K, que no rota.
Juzgado desde K, el reloj situado en el centro no tiene
ninguna velocidad, mientras que el de la periferia, debido a la rotación
respecto a K, está en movimiento. Según un resultado de
§12, este segundo reloj marchará constantemente más
despacio —respecto a K— que el
reloj situado en el centro del disco circular. Lo mismo
debería evidentemente constatar el hombre del disco, a quien vamos a
imaginar sentado en el centro, junto al
reloj que hay allí. Así pues, en nuestro disco circular, y con más generalidad
en cualquier campo gravitatorio, los
relojes marcharán más deprisa o más
despacio según el lugar que ocupe el reloj (en reposo). Por consiguiente, con ayuda de relojes colocados en reposo respecto al cuerpo de referencia
no es posible dar una definición razonable del tiempo. Análoga dificultad se plantea al intentar aplicar
aquí nuestra anterior definición de
simultaneidad, tema en el que no vamos
a profundizar.
También
la definición de las coordenadas espaciales plantea aquí
problemas que en principio son insuperables. Porque
si el observador que se mueve junto con el disco coloca su escala unidad
(una regla pequeña, comparada con el radio
del disco) tangencialmente sobre la periferia de éste, su longitud, juzgada
desde el sistema de Galileo, será más
corta que 1, pues según §12 los
cuerpos en movimiento experimentan un acortamiento en la dirección del
movimiento. Si en cambio coloca la regla en la dirección del radio del disco,
no habrá acortamiento respecto a K.
Por consiguiente, si el
observador mide primero el perímetro del disco, luego su diámetro y
divide estas dos medidas, obtendrá como
cociente, no el conocido número π = 3,14..., sino
un número mayor[2],
mientras que en un disco inmóvil
respecto a K debería
resultar exactamente π en esta operación, como es natural.
Con ello queda ya probado que los teoremas de la geometría
euclídea no pueden cumplirse exactamente sobre el disco
rotatorio ni, en general, en un campo gravitacional, al menos si se
atribuye a la reglilla la longitud 1 en cualquier posición y orientación.
También el concepto de línea recta pierde con ello su significado. No estamos,
pues, en condiciones de definir exactamente las coordenadas x,
y, z respecto al disco,
utilizando el método empleado en la teoría de la relatividad especial. Y mientras
las coordenadas y los tiempos de los sucesos
no estén definidos, tampoco tienen significado exacto las leyes de la naturaleza en las que aparecen esas coordenadas.
Todas las
consideraciones que hemos hecho anteriormente sobre la
relatividad general parecen quedar así en tela de juicio. En
realidad hace falta dar un sutil rodeo para aplicar exactamente
el postulado de la relatividad general. Las
siguientes consideraciones prepararán al lector para este
cometido.
[1] El campo se anula en el centro del disco y aumenta hacia fuera proporcionalmente a la distancia al punto medio.
[2] En todo este razonamiento hay que utilizar el sistema de Galileo K (que no rota) como cuerpo de
coordenadas, porque la validez de los resultados
de la teoría de la relatividad especial sólo cabe suponerla respecto a K (en relación a K' existe
un campo gravitatorio).
No hay comentarios:
Publicar un comentario