30/5/13

Sobre la teoría de la relatividad - Einstein - 17. El espacio cuadridimensional de Minkowski




17.    El espacio cuadridimensional de Minkowski

El no matemático se siente sobrecogido por un esca­lofrío místico al oír la palabra «cuadridimensional», una sensación no disímil de la provocada por el fan­tasma de una comedia. Y, sin embargo, no hay enun­ciado más banal que el que afirma que nuestro mundo cotidiano es un continuo espacio-temporal cuadridimensional.

El espacio es un continuo tridimensional. Quiere de­cir esto que es posible describir la posición de un punto (en reposo) mediante tres números x, y, z (coor­denadas) y que, dado cualquier punto, existen puntos arbitrariamente «próximos» cuya posición se puede describir mediante valores coordenados (coordenadas) x1, y1 , z1 que se aproximan arbitrariamente a las coor­denadas x, y, z del primero. Debido a esta última pro­piedad hablamos de un «continuo»; debido al carácter triple de las coordenadas, de «tridimensional».
Análogamente ocurre con el universo del acontecer físico, con lo que Minkowski llamara brevemente «mundo» o «universo», que es naturalmente cuadridimensional en el sentido espacio-temporal. Pues ese universo se compone de sucesos individuales, cada uno de los cuales puede describirse mediante cuatro núme­ros, a saber, tres coordenadas espaciales x, y, z y una coordenada temporal, el valor del tiempo t. El «uni­verso» es en este sentido también un continuo, pues para cada suceso existen otros (reales o imaginables) arbitrariamente «próximos» cuyas coordenadas x1 , y1 , z1 , t1 se diferencian arbitrariamente poco de las del suceso contemplado x, y, z, t. El que no estemos acos­tumbrados a concebir el mundo en este sentido como un continuo cuadridimensional se debe a que el tiempo desempeñó en la física prerrelativista un papel distinto, más independiente, frente a las coordenadas espaciales, por lo cual nos hemos habituado a tratar el tiempo como un continuo independiente. De hecho, en la fí­sica clásica el tiempo es absoluto, es decir, indepen­diente de la posición y del estado de movimiento del sis­tema de referencia, lo cual queda patente en la última ecuación de la transformación de Galileo (t' = t). La teoría de la relatividad sirve en bandeja la visión cuadridimensional del «mundo», pues según esta teoría el tiempo es despojado de su independencia, tal y como muestra la cuarta ecuación de la transformación de Lorentz:

En efecto, según esta ecuación la  diferencia temporal Δt’ de dos sucesos respecto a K’ no se anula en general, aunque la diferencia temporal Δt de aquellos respecto a K sea nula. Una distancia puramente espacial entre dos sucesos con relación a K tiene como consecuencia una distancia temporal de aquéllos con respecto a K'. La importancia del descubrimiento de Minkowski para el desarrollo formal de la teoría de la relatividad no reside tampoco aquí, sino en el reconocimiento de que el continuo cuadridimensional de la teoría de la relativi­dad muestra en sus principales propiedades formales el máximo parentesco con el continuo tridimensional del espacio geométrico euclídeo[1]. Sin embargo, para ha­cer resaltar del todo este parentesco es preciso sustituir las coordenadas temporales usuales t por la cantidad imaginaria

 

 proporcional a ellas. Las leyes de la naturaleza que satisfacen los requisitos de la teoría de la relatividad (especial) toman entonces formas ma­temáticas en las que la coordenada temporal desem­peña exactamente el mismo papel que las tres coordenadas espaciales. Estas cuatro coordenadas se corres­ponden exactamente, desde el punto de vista formal, con las tres coordenadas espaciales de la geometría euclídea. Incluso al no matemático le saltará a la vista que, gracias a este hallazgo puramente formal, la teoría tuvo que ganar una dosis extraordinaria de claridad.
Tan someras indicaciones no dan al lector sino una noción muy vaga de las importantes ideas de Minkowski, sin las cuales la teoría de la relatividad general, desarrollada a continuación en sus líneas fundamenta­les, se habría quedado quizá en pañales. Ahora bien, como para comprender las ideas fundamentales de la teoría de la relatividad especial o general no es necesa­rio entender con más exactitud esta materia, sin duda de difícil acceso para el lector no ejercitado en la ma­temática, lo dejaremos en este punto para volver sobre ello en las últimas consideraciones de este librito.



[1]  Cf. la exposición algo más detallada en el Apéndice.

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