Kurt Gödel y su teorema de "incompletez"

El teorema de incompletez de Kurt Gödel

Kurt Gödel

Lo que Gödel logró demostrar es que en todo sistema axiomático formal existen aseveraciones cuya verdad o falsedad es imposible de decidir desde adentro del sistema mismo. Si nos salimos del sistema, entonces podremos saber si son verdaderas o falsas, pero dentro de los límites estrictos del sistema no es posible saberlo.

Gödel demostró que en un sistema formal completo, es decir, suficientemente rico y poderoso como para poder decidir siempre la verdad o falsedad de cualquier sentencia o aseveración, deben existir proposiciones contradictorias y/o paradógicas.

PERO, el teorema de Gödel también nos dice que ningún sistema basado en un número finito de axiomas es "completo", ya que siempre existirán proposiciones cuya verdad o falsedad será imposible de decidir.

De la misma manera, si se requiere un sistema completo, es decir, en el cual se puede decidir siempre sobre la verdad o falsedad de una proposición formal, entonces aparecerán paradojas y el sistema no será consistente

RECAPITULANDO: toda formulacion axiomática y consistente incluye proposiciones indecidibles. Y todo sistema completo que no incluya proposiciones indecidibles resulta inconsistente, ya que contiene en si contradicciones.

si un sistema es consistente, entonces es incompleto

y

si un sistema es completo, entonces es inconsistente